Luis Vega
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Su iniciación a la investigación se dirigió al problema, que sigue abierto, de la convergencia puntual de la solución de la ecuación lineal de Schrödinger a su valor inicial. El resultado obtenido en su tesis fue una mejora substancial de resultados anteriores de L. Carleson y de hecho no han sido mejorados hasta hace muy poco por un trabajo de J. Bourgain (On the Schrödinger maximal function in higher dimension). El procedimiento usado da asimismo un resultado de regularidad en el espíritu de otros probados anteriormente por T. Kato para la ecuación no lineal de Korteweg-de Vries (KdV) que describe la dinámica de las olas en aguas poco profundas.
En su estancia en la Universidad de Chicago comenzó una fructífera colaboración con C. E. Kenig y G. Ponce que se mantiene hasta la fecha. Entre otros resultados, en los años noventa completaron la teoría sobre KdV comenzada por T. Kato, planteando a su vez toda una serie de nuevos problemas que han ocupado a una parte importante de investigadores como J. Bourgain y T. Tao. Paralelamente, y en parte en colaboración con C. Rolvung, resolvieron las ecuaciones cuasilineales de Schrödinger, desarrollando una teoría general que incluye no solo operadores espaciales elípticos, sino también los hiperbólicos y ultrahiperbólicos. En la pasada década han desarrollado, en colaboración con L. Escauriaza, un nuevo método para probar teoremas clásicos del análisis de Fourier, como el de Paley-Wiener y el principio de incertidumbre de Hardy, lo que ha permitido encontrar una extensión natural al ámbito no lineal.
Asimismo ha trabajado en cuestiones de la convergencia de la integral de Fourier en colaboración con A. Moyúa, T. Tao y A. Vargas, obteniendo el primer resultado estrictamente más general que el célebre teorema de E. Stein y P. Tomas sobre la sumación de dicha integral usando medias esféricas.
En los últimos diez años ha trabajado con
M. V. Banica y
S. Gutiérrez en el estudio
de la dinámica de los hilos de torbellino y, más concretamente, en la posibilidad
de que dichos hilos o filamentos desarrollen singularidades en forma de una
esquina. Una extensión natural de esta cuestión es describir la evolución de
aquellos filamentos que en el momento inicial son un polígono regular. En un
trabajo reciente escrito con
F. de la Hoz se establece una relación entre este
problema y el de la multifractalidad exhibida y demostrada por la llamada
función no-diferenciable de Riemann.