Xavier Tolsa Domènech
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1991-1994: Becario predoctoral, UPC.
2003---: Profesor Investigador ICREA en el Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona.
Entre las estancias posdoctorales de Tolsa destacan las de las universidades de Göteborg−Chalmers (1999-2000) y Paris-Sud/Orsay (2000-2001), ésta con una beca Marie Curie en el grupo de Guy David. En este periodo realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de Calderón-Zygmund no homogénea. Por ejemplo, introdujo el espacio RBMO y su predual (Tolsa-2001), que son espacios análogos, en el contexto de las operadores integrales singulares con medidas no doblantes, del espacio BMO de John-Nirenberg y del espacio de Hardy. El desarrollo de este tipo de técnicas es especialmente útil por las potenciales aplicaciones a cuestiones de tipo geométrico, como el mencionado problema de Painlevé, en que se estudian conjuntos sin ningún tipo de estructura.
En la etapa final de su estancia en la Universidad Paris-Sud, Tolsa regresó al estudio de la capacidad analítica. Junto con J. Mateu y J. Verdera solucionó un problema planteado por John Garnett (Garnett-1972) sobre la caracterización de ciertos conjuntos de Cantor com capacidad analítica positiva (Mateu-Tolsa-Verdera-2002), y posteriormente demostró que la capacidad analítica es comparable a la capacidad γ+, y por tanto es semiaditiva y se puede caracterizar en terminos de la curvatura de medidas (Tolsa-2003). Este es uno de los resultados más celebrados de Tolsa, pues prueba una conjetura planteada por Vitushkin en la década de los 1960 y esencialmente resuelve el problema de Painlevé descrito anteriormente. Otro resultado remarcable es su desmostración de que la capacidad analítica es invariante bilipschitz, módulo un factor constante (Tolsa-2005), lo cual muestra que está noción es esencialmente de carácter métrico.
Tolsa volvió a la UAB como investigador Ramón y Cajal a finales de 2001, y a finales de 2003 se incorporó a ICREA, manteniendo su lugar de trabajo en la UAB. Durante el periodo 2004-2012, Tolsa se dedicó fundamentalmete al estudio de la relación entre la transformada de Riesz y la rectificabilidad, y más concretamente al llamado problema de David y Semmes. Esencialmente, este consiste en demostrar que la acotación L2 de la transformadas de Riesz respecto de la medida de Hausdorff n-dimensional en un cierto conjunto del espacio euclídeo d-dimensional implica la n-rectificabilidad de dicho conjunto. Después de algunos resultados parciales como Tolsa-2008 o Tolsa-2014, Tolsa resolvió dicho problema en codimensión 1 junto con Nazarov y Volberg Nazarov-Tolsa-Volberg-2014, usando técnicas variacionales y de cuasiortogonalidad. Como corolario, se deduce que un compacto de medida de Hausdorff n-dimensional finita es evitable para las funciones Lipschitz armónicas si y solo si es puramente no n-rectificable. Otras contribuciones de Tolsa en este periodo corresponden al campo de las aplicaciones cuasiconformes (Tolsa-2013), o la teoría geométrica de la medida (Tolsa-2015).
En 2013 Tolsa obtuvo una de las prestigiosas ERC Advanced Grant para el estudio de diversas cuestiones en el campo del análisis geométrico. En el periodo 2013-2016 se adentró en el estudio de la medida armónica en dimensiones mayores que 2. Uno de sus resultados importantes en este área, que puede considerarse como un recíproco del famoso teorema de los hermanos Riesz (Riesz-Riesz-1917), prueba que si la medida armónica es mutuamente absolutamente continua respecto de la medida de Hausdorff de codimensión 1, entonces dicha medida es n-rectificable (Azzam-Hofmann-Martell-Mayboroda-Mourgoglou-Tolsa-Volberg-2016, arXiv). Otro resultado reciente es la resolución del llamado problema de dos fases para la medida armónica (Azzam-Mourgoglou-Tolsa-2016). Estos dos resultados resuelven conjeturas de Chris Bishop de principios de los 1990 (Bishop-1992). En ambos trabajos, la relación con las transformadas de Riesz y el problema de David y Semmes son ingredientes esenciales.
Supervisión de investigadores postdoctorales:
Caricatura
en Divulgamat, obra de
Enrique Morente Luque.